七、(10分) 设数域 上的 阶方阵 满足 且 , 证明: .
证明 我们给出四种不同的证法.
证法 1 (线性方程组求解理论) 若 非异, 则 , 从而 . 若 , 则 , 从而 . 以下设 , 则由线性方程组的求解理论可知, 的解空间 的维数等于 , 故不妨设 , 其中 即为 的基础解系. 由 可知 的每一个列向量都属于 的解空间 , 从而都与 成比例, 于是存在 , 使得 . 同理由 可知存在 , 使得 . 由矩阵迹的交换性可得
于是
证法 2 (特征值理论) 若 非异, 则 , 从而 . 若 , 则 , 从而 . 以下设 , 则 关于特征值 0 的特征子空间 的维数等于 , 故不妨设 , 其中 为特征值 的特征向量. 由 可知 的每一个列向量都属于特征子空间 , 从而都与 成比例, 于是存在 , 使得 . 由于 , 故 的任一特征子空间都是 的不变子空间. 特别地, 是 的不变子空间, 于是存在 , 使得 , 即 是 关于特征值 的特征向量. 注意到 且 , 故由高代白皮书的例 7.28 (利用特征值的降阶公式) 可知 的特征值全为零 (也可以由 的特征值以及 推出这一结论), 于是 , 从而 , 因此 .
证法 3 (Cayley-Hamilton 定理的应用) 由高代白皮书的例 6.62 的证明可知: 若设 的特征多项式
则有
再由高代白皮书的例 6.15 可知:
于是
证法 4 (Jordan 标准型的应用) 若 非异, 则 , 从而 . 若 , 则 , 从而 . 以下设 . 注意到问题的条件和结论在同时相似变换 , 下不改变 (其中 ), 故不妨从一开始就假设 为 Jordan 标准型, 其中 是由非零特征值的 Jordan 块构成的分块对角阵, 是由零特征值的 Jordan 块构成的分块对角阵. 设
为对应的分块, 则由 可知
由 非异即得 , 以及 . 注意到特征值 的几何重数为 , 故 由一个 Jordan 块构成, 我们断言 . 用反证法, 若 , 则
从而 , 矛盾! 也可以这样证明, 注意到 是特征值 的代数重数, 若 , 则 的特征值为 , , 于是 的特征值只有 , 其余 个特征值全部为零, 从而 , 矛盾! 因此,
其中
由 可知 的后 行都等于零, 于是 , 从而 .
注 由证法 1 和证法 3 可知, 本题的结论可以改进为: 设数域 上的 阶方阵 满足 , 则 的充要条件是 或 .
参考文献
[1] 高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.
转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2020-10-12 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗