矩阵非异性的判定是高等代数教学中的一个重点. 一般来说, 判定非异矩阵的常见方法有五种, 分别是:
(i) 行列式的计算 (参考高代白皮书第 1 章);
(ii) 凑因子法 (参考高代白皮书第 2.2.3 节);
(iii) 线性方程组求解理论的应用 (参考高代白皮书第 3.2.6 节的第 2 部分);
(iv) 互素多项式的应用 (参考高代白皮书第 5.2.9 节);
(v) 特征值的计算 (参考高代白皮书第 6.2.1 节).
以下是复旦大学数学学院 19 级高等代数 I 期中考试的第七大题, 重点考察线性方程组求解理论在证明矩阵非异性上的应用, 即方阵 为非异阵当且仅当对应的齐次线性方程组 只有零解.
第七大题 设 为 阶实反对称阵, 为 阶实反对称阵, 为 阶实矩阵. 证明: 和 都是非异阵.
首先, 我们引用一个常见的结论, 它给出了反对称阵的刻画, 是反对称阵最本质的性质之一.
引理 (高代白皮书的例 2.3) 设 是数域 上的 阶方阵, 则 为反对称阵当且仅当对任意的 , 均有 .
第七大题的证明 任取线性方程组 的一个解 , 即有 . 在等式的两边同时左乘 , 由引理可得
于是 , 即有 , 从而由线性方程组求解理论可知 为非异阵. 关于矩阵 的非异性, 我们给出三种不同的证法.
证法一 由矩阵 的特殊性, 反向利用降阶公式, 构造一个 阶矩阵 . 由降阶公式可知
故要证明 非异, 只要证明 非异即可. 任取 的一个解 , 即有
上述第一个方程左乘 , 第二个方程左乘 , 然后两个等式相减. 利用引理并注意到 , 最后可得 , 于是 , , 从而由线性方程组求解理论可知 为非异阵.
证法二 对证法一中的分块矩阵 的第二分块行左乘 (第二类分块初等变换), 可得分块矩阵
注意到 是实反对称阵, 故由第一个结论可知 为非异阵, 从而 也是非异阵.
证法三 直接证明矩阵 的非异性. 任取线性方程组 的一个解 , 即有
在等式的两边同时左乘 , 由引理可得
令 , 则
将 (2) 式代入 (1) 式可得
于是 , , 从而由线性方程组求解理论可知 为非异阵.
第七大题的结论有如下三个推广.
推广 1 设 为 阶正定 (半正定) 实对称阵, 为 阶实反对称阵, 则
证明 正定阵的情形就是高代白皮书的例 9.100. 注意到主对角元素全大于零的对角阵是正定实对称阵, 故高代白皮书的例 3.78 是例 9.100 的特例, 它们都给出了第七大题第一个结论的推广. 半正定阵的情形可通过摄动法由正定阵的情形得到.
定义 设 为 阶实方阵, 若对任一 , 均有 , 则称 为亚正定阵; 若对任一 , 均有 , 则称 为亚半正定阵. 同理可给出亚负定阵和亚半负定阵的定义, 即 为亚负定阵 (亚半负定阵) 当且仅当 为亚正定阵 (亚半正定阵). 容易证明: 是亚正定阵 (亚半正定阵) 当且仅当 是正定阵 (半正定阵); 若 是亚正定阵, 则 也都是亚正定阵. 具体的证明细节和其他的相关结论请参考高代白皮书第 411 页的解答题 14.
命题 设 为 阶实方阵, 则 为亚正定阵 (亚半正定阵) 当且仅当 , 其中 是正定 (半正定) 实对称阵, 是实反对称阵. 特别地, 若 为亚正定阵 (亚半正定阵), 则 ().
证明 充分性可利用引理直接验证亚正定阵 (亚半正定阵) 的定义得到. 必要性可由
以及亚正定阵 (亚半正定阵) 的等价定义得到. 第二个结论由推广 1 即得.
推广 2 设 是 阶亚正定阵, 是 阶亚正定阵, 是 阶实矩阵, 则 也是亚正定阵. 特别地, .
证明 由 是亚正定阵可知 也是亚正定阵, 从而 是亚半正定阵. 又 是亚正定阵, 故由定义可知 也是亚正定阵. 第二个结论由命题即得.
回到第七大题, 由命题可知 和 都是亚正定阵, 再由推广 2 可知 也是亚正定阵, 从而
这给出了第七大题第二个结论的推广. 最后, 我们给出 2017 年度第九届全国大学生数学竞赛预赛第四题的推广.
推广 3 设 为 阶实方阵, 满足 . 证明: 若 为亚正定阵或亚负定阵, 则 为非异阵.
证明 只要证明 为亚正定阵的情形即可. 任取线性方程组 的一个解 , 即有
由命题可知 , 故 都是非异阵. 设 , 代入 (3) 式化简后可得
在 (4) 式的两边同时左乘 可得
由 的亚正定性可得 以及 , 从而由线性方程组求解理论可知 为非异阵.
参考文献
[1] 高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.
转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2020-11-03 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗