七、(10分) 设 是 维线性空间 上的线性变换, , 其中 都是 -不变子空间. 证明:
(1) 对任意的正整数 ,
都是 -不变子空间;
(2) 存在正整数 , 使得对任意的 , , , 并且
证明 (1) 容易验证 和 都是 的子空间. 任取 , 即 , 由于 是 -不变子空间, 故 , 从而
即 , 从而 是 -不变子空间. 注意到上式也告诉我们: , 即 , 从而有子空间的包含关系:
任取 , 其中 , 由于 是 -不变子空间, 故 , 从而
即 是 -不变子空间. 注意到上式也告诉我们: , 从而有子空间的包含关系:
(2.1) 由上面的讨论可知, 存在 -不变子空间的如下包含关系:
从而有维数的不等式:
注意到递增和递减的整数 (子空间维数) 数列夹在两个有限区间里, 故它们不能有无限次严格递增和无限次严格递减的情况出现, 因此存在正整数 , 使得对任意的 ,
即从指标 开始, 两类子空间的维数都保持不变了, 再由子空间的包含关系即得: 对任意的 ,
证法一 我们按照直和的定义, 分两步来证明
(2.2) 先证 . 任取 , 即存在 , 使得 且 , 于是 , 故有 , 从而 . 还有另一种证明方法. 将线性变换 限制在 上, 得到线性映射 , 这是一个满射. 又由 (2.1) 可知 , 从而 是一个线性同构. 注意到在上面的讨论中, , 从而 , 于是 .
(2.3) 再证 . 任取 , 设 , 其中 , , 则 , 即存在 , 使得 , 即 . 令 , 则 , 从而
证法二 我们可以用维数公式去替代上面的 (2.2) 或 (2.3) 来证明直和, 但这个维数公式并非显然, 需要严格的证明.
(2.4) 证明
将线性变换 限制在 上, 得到线性映射 . 注意到 , , 从而由线性映射的维数公式可得
由于 , , 故 , 即 , 从而
由于
故由 式可得
由 和 两式, 再利用 的维数公式即可得证.
证法三 我们也可以直接证明 . 将线性变换 限制在不变子空间 上, 得到线性变换 . 由高代白皮书例 4.33 的结论可知: 存在正整数 , 使得对任意的 , , , 且
注意到 , 又由定义容易验证 , 故
因此上述包含关系只能取等号, 即有 以及 .
注 当 , 时, 本题就是高代白皮书的例 4.33. 因此, 本题及其证法一和证法二就是高代白皮书的例 4.33 及其证明的推广, 大家可以仔细比较两者之间的类似之处. 第 2 小问的 可以取到更加精细的值 (像高代白皮书的例 4.32 那样利用抽屉原理来讨论), 但就本题的结论而言, 并不需要这么精细的讨论.
转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2020-11-03 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗