八、(10分) 设 为 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 设指标集 , 两个指标 称为连通的, 如果存在一列指标 , 使得 , , , . 设指标集 分成 个连通分支 , 即同一连通分支内的不同指标相连通, 不同连通分支之间的指标不连通. 证明:
证明 通过行对换以及对称的列对换, 可将连通的指标放在一起, 从而 相抵于 (合同于) 实对称阵 , 其中 是 阶实对称阵, 满足: 每行元素之和都等于零, 并且非主对角元素都小于等于零. 若 得证, 则
因此, 我们只要证明: 对满足题目条件的实对称阵 , 当所有指标都连通时, 即可. 由线性方程组的求解理论, 这等价于证明: 齐次线性方程组 的解空间 的维数等于 .
一方面, 设 , 则由题目条件可知 . 另一方面, 任取 的一个解 , 即 , 则有
利用不等式 以及 可得:
因此, 上述不等式等号成立, 这当且仅当: 若 , 则必有 . 由于所有的指标都连通, 故必有 , 即 . 因此, , 从而 .
注 这道试题从代数曲面理论中的一个引理改编而来, 即光滑射影代数曲面上的曲线 (有效除子), 若收缩到一个点或为曲面纤维化的一条纤维, 则它的不可约分支之间的相交数构成的实对称阵是一个半负定矩阵. 在本题中, 由上述证明的后半部分可直接得到 为半正定矩阵. 当然, 也可以这样证明: 对任意的 , 都是严格对角占优阵且主对角元素全大于零, 则由高代白皮书的例 8.28 可知对任意的 , 都是正定矩阵, 再由高代白皮书的例 8.40 可知 为半正定矩阵.
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