以下是复旦大学数学学院20级高等代数 I 期中考试的四道大题, 它们的高等代数 I 解题思路为: 第四大题第 1 小题利用矩阵乘法直接进行计算, 第 2 小题利用线性方程组的求解理论进行讨论; 第五大题利用行列式的降阶公式进行计算; 第六大题利用矩阵秩的 Sylvester 不等式进行证明; 第七大题利用矩阵的运算进行证明; 其中第四、五、七大题的高等代数 I 解法都有一个缺点, 那就是“计算量过大以致解法不够简洁”. 下面我们将给出这些题目的高等代数 II 解法, 由于这属于“降维打击”, 故计算过程被大幅度简化. 另外, 我们还分别给出了第六大题和第七大题的推广.
四、 记数域 上所有 阶方阵全体构成的线性空间为 . 对 , 考虑 .
(1) 若 , , 求 的一组基.
(2) 若 , 试确定 的所有可能值.
白皮书例 7.22 设 是数域 上的 阶方阵, 表示 的多项式全体构成的线性空间. 证明: 的极小多项式等于特征多项式的充要条件是 . 若充要条件成立, 则 的一组基为 .
第四大题的解答 (1) 由于 是多项式 的友阵, 故 的极小多项式等于特征多项式等于 . 由白皮书的例 7.22 可知, 的一组基为 .
(2) 设 阶方阵 的极小多项式为 , 特征多项式为 . 若 , 则由 Cayley-Hamilton 定理可知 , 再由白皮书的例 7.22 可知, . 若 , 则可设 , 于是 , 此时 , 从而 .
五、 设 阶复方阵 不可逆, 证明: 至多只有两个复数 , 使得 不可逆.
白皮书例 6.13 设 阶矩阵 的全体特征值为 , 求证: 的全体特征值为 , , , .
第五大题的证明 设 的全体特征值为 , 由 可知, 至少有一个 . 不妨设 , 则 的全体特征值为 和 个 , 于是 互不相同的特征值至多只有两个, 即 和 , 从而结论得证.
六、 设 为 阶方阵, 证明:
推广 1 设 为 阶复方阵, 记 的特征值为 且阶数大于等于 的 Jordan 块的个数为 , 同理定义 . 证明: 或者 成立, 或者 成立.
推广 1 的证明 由于 , 故 . 由白皮书例 7.33 的证明过程可知, 等于 的特征值为 且阶数大于等于 的 Jordan 块的个数 , 于是
同理可证 , 从而结论得证.
注 在教学论文 [2] 中, 我们证明了: 和 的非零特征值的 Jordan 块完全相同; 和 的特征值 的最大 Jordan 块的阶数之差小于等于 . 上述推广证明了: 若 , 则 和 的特征值 的 Jordan 块的个数之差属于 . 上述这些信息可以帮助我们确定 和 的 Jordan 标准型之间的关系.
第六大题的证明 由于阶数 的 Jordan 块的个数 , 故 都小于等于 , 从而结论由推广 1 即得.
七、 设 为 阶实方阵, 其中 是主对角元全大于零的上三角阵, 并且满足 . 证明:(1) 必为对称阵;
(2) 为对角阵当且仅当 ;
(3) .
白皮书例 6.65 设 , , 在复数域上没有公共的特征值. 证明: 对任一 , 矩阵方程 在 中存在唯一解.
白皮书例 9.101 设 是 阶实矩阵, 已知 正定, 求证: , 等号成立的充要条件是 为对称阵.
第七大题的证明 (1) 考虑矩阵方程
显然 的特征值都是正实数, 的特征值都是负实数, 因此它们没有公共的特征值. 由白皮书的例 6.65 可知, 矩阵方程 存在唯一解 . 将等式 两边同时转置, 可得 , 即 也是矩阵方程 的解, 由唯一性可得 , 即 为对称阵.
(2) 若 为对角阵 (也是对称阵), 则 也是矩阵方程 的解, 由唯一性可得 , 从而 . 反之, 若 , 则
由白皮书的例 2.7 可得 , 即 既是上三角阵, 又是对称阵, 从而是对角阵.
(3) 注意到 为正定阵, 故由白皮书的例 9.101 可得 , 由此可得 .
推广 2 设 为 阶实方阵, 其中 的 个特征值都是正实数, 并且满足 . 证明:
(1) 必为对称阵;
(2) 为对称阵当且仅当 , 也当且仅当 ;
(3) , 等号成立当且仅当 .
推广 2 的证明 (3) 中等号成立的充要条件需要用到白皮书的例 9.101, 其他由第七大题相同的证明即得.
参考文献
[1] 高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.
[2] 谢启鸿, 从 AB 与 BA 谈高等代数的教学串联, 高等数学研究, 2015, 18(6), 29–32.
转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2021-10-15 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗