受张益唐启发，17岁少年攻克世界数论难题

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在研读孪生素数问题论文的过程中，丹尼尔•拉森掌握了梅纳德用以改进张益唐研究结果的数学方法，创造性地应用这个方法，最终证明了关于卡迈克尔数分布的突破性结果。

撰文 |

吴朝阳

一

“互素”“同余”与“同余算术”

数

合数

互素

同余

mod

同余式

mod

模

m

a

b

mod

m

c

d

mod

m

a + c

b + d

mod

m

a - c

b - d

mod

m

ac

bd

mod

m

a^k

b^k

mod

m

c

d

mod

m

c

d

m

c - d

m

k

c – d = mk

ac – bd

a

km + d

bd

akm + ad – bd

akm

d

a - b

a

b mod

m

a - b

m

ac – bd

m

ac

bd

mod

m

k

m

ka

kb mod

m

a

b mod

m

k

m

k

k

m

m = kn

ka

kb mod

m

a

b mod

n

m

费马小定理与卡迈克尔数

费马小定理

费马小定理：如果p是素数，而

a

是自然数，则

a^p - a

可以被p整除，即

a^p – a

mod

p

成立。

命题1

若n使得同余式

ⁿ –

mod

n

则n必为素数。

命题2 (费马小定理的逆命题)：若n使得同余式

aⁿ – a

mod

n

对所有自然数a都成立，则n必为素数。

中国假设

若n为素数，则同余式

ⁿ –

mod

n

成立。反之，若n使上述同余式成立，则n必为素数。

⁵

mod

31

⁵

mod

11

³⁴⁰

⁵

68

68

mod

31

³⁴⁰

⁵

68

68

mod

11

³⁴⁰

mod

31⤫11

³⁴¹

mod

31⤫11

³⁴¹

mod

341

科塞尔特准则

自然数n使得同余式

aⁿ – a

mod

n

对所有自然数a都成立，当且仅当n没有平方因子，且对n的所有素因子p，都有

n–1

mod

p-1

费马伪素数

卡迈克尔数

F

3

r₁h

r₂h

r₃h

r₁

r₂

r₃

r₁h

r₂

r₃h

h=3M, r₁=1

r₂=2

r₃=3

U₃ =

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

U₃ =

M

M

M

U₃ =

M

M

M

U₃ =

M

M

M

U₃ =

M

M

M

h=20M+1, r₁=1

r₂=5

r₃=8

M

Y₃ =

M

M

2

M

M

难题：证明卡迈克尔数的伯纳德-切比雪夫定理

d

kd

x

x

素数计数函数

x

x

x

d

a

kd+a

x

x; d, a

x; d, a

x

d

d

d

d

a = 1

x

ε

x

x

ε

x; d, 1

x

d

kd+1

x

x

x

d

x

kd+1

假设S是一个由若干奇素数组成的集合，L 等于集合{ p-1 | p∈S } 中所有数的最小公倍数。如果Q是S的子集，c等于Q中所有素数的乘积，并且c ≡ 1 (mod L)，则c是一个卡迈克尔数。

L

c ≡ 1 (mod L)

L

kd+1

L

d

kd+1

L

x^1-E

x

x

x

x^1/3

n

n

2n

x

x

x

x

阿尔福德等人断定，证明

卡迈克尔数的伯纳德-切比雪夫定理将是一项极其艰难的任务。沿着阿尔福德等人的思路，仅考虑形如kd+1的素数时无法证明卡迈克尔数的伯纳德-切比雪夫定理。

丹尼尔•拉森的研究

kd+

kd'+

x

x

h

h

x

x+h

kd+1

kd'+1

d

d'

kd+1

kd'+1

kd+1

kd'+1

对任何正小数δ，以及依赖于δ的充分大的自然数n，在n与

个卡迈克尔数

当n > 3300时，n与2n之间总是存在卡迈克尔数。而且n趋于无穷大时，n与2n之间卡迈克尔数的个数也趋于无穷大。

读者自行对比即可看出，这一描述也就是在限定条件（n > 3300）下的卡迈克尔数的伯纳德-切比雪夫定理。

参考文献

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

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