四、 求解下列线性方程组, 其中 为参数且 :
解 设上述方程组的系数矩阵为 , 则由求和法或行列式的降阶公式可得
下面分三种情况进行讨论.
Case 1 若 , 则原方程组等价于一个线性方程
又 , 故不妨设 来进行讨论 (其他情形完全类似), 此时原方程组的基础解系为 , , , .
Case 2 若 , 则 显然是方程组的一个非零解. 下面用初等变换法来求 . 将 的后 列全部加到第一列上, 然后再将第一行乘以 依次加到后 行上:
显然右边矩阵的秩等于 , 故 . 也可以用矩阵秩的降阶公式来求 . 设 , 则 , 故由高代白皮书例 3.73 可知,
于是 . 由线性方程组的求解理论可知, 原方程组解空间的维数等于 , 于是原方程组的基础解系为 .
Case 3 若 且 , 则 , 故由 Cramer 法则可知, 原方程组只有零解.
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五、 设 阶方阵 满足 且 , 证明: 是奇异阵.证明 由 可得又 , 故 . 于是从而 , 即 是奇异阵.
注 本题与高代白皮书例 2.18 类似.############
六、 设 阶方阵 , 下列 个行列式称为 的 个顺序主子式:
设 , 证明: 可对 实施若干次行对换和列对换, 使所得矩阵 的前 个顺序主子式全不为零, 并且后 个顺序主子式全为零.
证明 设 为其行分块, 通过行对换可将其极大无关组调换至前 行, 故不妨设 是 的行向量的极大无关组. 由于 , 故存在某个 , 对换第 1 列与第 列 (这时所得矩阵的前 行仍为其行向量的极大无关组), 因此不妨设 . 下设 , , , 其中 , 于是 , , 线性无关, 由高代白皮书例 3.13 可知, , , 也线性无关. 注意到
故可从后 列中选出一列与前 列一起构成列向量的极大无关组, 将这一列与第 列对换, 故不妨设矩阵 的前 列是其列向量的极大无关组, 于是
由上述归纳法即得, 通过若干次行对换和列对换之后, 得到矩阵 的前 个顺序主子式非零. 又 , 故由矩阵秩的子式判别法可知, 的后 个顺序主子式全为零.
注 本题与高代教材定理 3.6.2 (矩阵秩的子式判别法) 的证明类似.
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七、 给定非负实数 满足下列两个条件:(i) ;
(ii) 存在 的全排列 , 使得 .
对任意的 , 令
定义 阶方阵 为:
证明:
(1) 线性方程组 的解空间为 , 其中 ;
(2) 线性方程组 的解空间为 , 其中 ;
(3) 设 , 则 有解的充要条件是 .
证法一 (1) 显然 包含在 的解空间中. 反之, 任取 的解 , 则存在 , 使得 . 考虑 的第 个方程, 注意到 , 故可得
因此上述不等式取等号, 即若 , 则必有 . 为书写方便考虑, 不妨设上述 , 由条件 (ii) 可知 , 于是 也是最大值. 再对第 个方程重复上面的讨论, 可得 也是最大值. 不断这样讨论下去, 最后可得
于是 , 结论得证.
(2) 显然 包含在 的解空间中. 再由 (1) 和线性方程组的求解理论可知 , 于是 , 从而 解空间的维数等于 , 因此 的解空间为 .
(3) 由高代白皮书例 3.99 以及 (2) 即得结论.
证法二 注意到 , 故设
则 为实对称阵且每行每列元素之和均为零.
(1) 证明 的解空间为 , 等价于证明 的解空间为 . 显然 包含在 的解空间中. 反之, 任取 的解 , 则有
注意到 且 , 故由上式可得
因此, 中的不等号只能全部取等号, 即若 , 则必有 . 由假设存在全排列 , 使得 , , , , 故可得
于是 , 结论得证.
(2) 证明 的解空间为 , 等价于证明 解空间为 , 这也等价于证明 的解空间为 , 而这即为 (1) 的结论.
(3) 由高代白皮书例 3.99 以及 (2) 即得结论.
注 本题与19级高等代数I期末考试第八大题类似.############参考文献
[1] 高代教材: 高等代数学 (第四版), 谢启鸿、姚慕生、吴泉水 编著, 复旦大学出版社, 2022.
[2] 高代白皮书: 高等代数 (第四版), 谢启鸿、姚慕生 编著, 复旦大学出版社, 2022.
转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2023-12-14 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗