如果有一个长满毛发的球体，你能够把它所有的毛发都梳理平顺吗？做个实验就会发现，这是做不到的，总会有一根毛发直立不倒，或某个地方没有毛发覆盖，这就是“毛球定理”，是布劳威尔于1912年首次证明的，它也是更著名的布劳威尔不动点定理的另一个版本。用数学语言来表述“毛球定理”即为：球体上的任何连续切向矢量场至少有一点为零。由于风可以被认为是具有大小和方向的矢量，该定理指出，在地球表面无论有多少地方在刮多大的风，至少有一点的水平风速为零。有趣的是，毛球定理不适用于圆环面（例如甜甜圈表面），因此，理论上是可以制造出一个长毛的甜甜圈，它所有的毛发都是平顺的，完美主义者对这种甜甜圈可能比较喜欢。
布劳威尔（Brouwer）何许人也？荷兰大数学家，主要研究拓扑学和数学基础，是20世纪三大数学流派之一——“直觉主义”学派的创立者和代表人物。
布劳威尔在 1909年证明了以他的名字命名的不动点定理，后来又多次提出革命性的概念和方法并给出新的证明，比如1911年提出“映射度”概念，结合刚问世不久的“同伦”方法，证明了2维布劳威尔不动点定理，现已成为教科书里面的通用证法，在下文会有详细介绍。此外，布劳威尔在1910 年还证明了维数是一个拓扑不变量；他还创造了单纯逼进方法，使拓扑学的证明有了严格的基础。这些成就让他被公认为20世纪初庞加莱最重要的代数拓扑传人。
天才的想法总是出乎常人所料。在人们都期待布劳威尔能够像庞加莱一样，带领大家在拓扑学的世界里攻城拔寨时，他却义无反顾地投身于数学基础的研究之中，一门心思要把数学建立在自己认可的“直觉主义”基础之上。布劳威尔提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”这个学派后来传播到美国数学家埃里特·毕晓普（Errett Bishop）那里，被称为“构造主义”。美国柯朗数学科学研究所的哈罗德·爱德华兹（Harold M. Edwards）教授是该学派的一位积极倡导者，他在2004 年的著作《构造数学论著集》（Essays in Constructive Mathematics）中很好地说明了构造主义的方法。爱德华兹教授认为，随着功能强大的计算机便捷化，构造主义现已迎来了它的时代，而且一旦人们对思维方式做出了适当调整，那么人们自 1880 年以来取得的很多数学成果看起来都会是误解。
布劳威尔天资聪颖，有很强的哲学气质，这一点从他的照片中可以看出来。他那忧郁而深邃的眼神，带着些许禁欲和苦修的色彩，与维特根斯坦有几分相似。如果给他披上一件教袍，就成为法国大文豪维克多·雨果《巴黎圣母院》中的副主教克洛德，数学（教规）的约束终究抵挡不住他对哲学（吉普赛少女艾丝美拉达）的爱慕之情，甚至在晚年为了哲学不惜推翻自己以前的数学成就，只因为证明中使用的排中律不符合“直觉上可构造性”的要求！这种惊世骇俗的叛逆行径，连他的同胞范·德·瓦尔登（Van der Waerden）都看不下去了，说他“是一个非常奇怪的人，疯狂地热爱自己的哲学”。从世俗的角度来看，范·德·瓦尔登的评价是中肯的；但是在布劳威尔的心中，或许一直存在这样一个“不动点”信念：只有为了真爱而敢于献身的修士，才是一个好的数学家吧！
布劳威尔不动点定理
布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed-point Theorem）是拓扑学上的惊人发现，也是数学中最有用的定理之一。该定理说，（任意维数的）球体到自身的连续映射至少使一点保持不动。
为了使该定理可视化，我们可以做一个实验。假设你把两张完全相同的图纸叠放在一起，上面图纸的每一个点都在下面图纸对应点的正上方。你拿走上面的图纸，揉成一团但不能撕破，然后把它放回另一张图纸的上面，注意不要超出下面图纸的边界。现在问你：上面的纸团中是否至少有一点仍处于它当初对应点的正上方？布劳威尔不动点定理告诉我们，答案是肯定的。在大型商场或者公园里经常看到“您在此处”的地图标识牌，就是这个道理。
同样的定理在三维空间中也起作用。比如搅动一杯液体，即使液体中的所有“点”（可以想象比原子还小而且是空间稠密的）都移动过，但布劳威尔不动点定理指出，液体中至少有那么一个“点”，其位置与你开始搅拌之前完全相同。
如果用更精确的数学语言来表述，n维布劳威尔不动点定理即为：n维球体到自身的连续映射f: Bⁿ →Bⁿ至少使一点保持不动，即存在一点x∈Bⁿ使得f(x)=x.
下面介绍1维和2维情况下的布劳威尔不动点定理的几种证明方法，而一般n维情况可以仿照2维情况将基本群换成(n-1)维同调群来证明.
1维布劳威尔不动点定理
1维球体到自身的连续映射f: B¹ →B¹必定至少使一点保持不动，即存在一点x∈B¹使得f(x)=x.
因为1维球体同胚于单位区间 =[0,1]，所以1维不动点定理也可以表述为：设f: → 是一个连续映射，则存在x∈ 使得f(x)=x.
1维情况比较简单，可以利用连续函数的介值定理来证明：
如果f(0)=0或者f(1)=1，则定理显然成立. 下设f(0)＞0 和f(1)＜1．定义映射g: →R使得对于任何t∈ 有g(t)=t-f(t). 容易验证g是一个连续映射，并且这时有g(0)＜0和g(1)＞0. 由介值定理可知，存在x∈ 使得g(x)=x-f(x)=0，即f(x)=x.
还可以使用连通性来证明：
假设不存在x∈ 使得f(x)=x，则有
但f(0)＞0 ，f(1)＜1，所以上式 两端的集合都不为空，由f的连续性可知它们都是开集，从而 可以表示成一对分离的非空开集的并，这与 是连通的相矛盾.
2维布劳威尔不动点定理
2维球体到自身的连续映射f: B² →B²必定至少使一点保持不动，即存在一点x∈B²使得f(x)=x.
因为2维球体就是一个圆盘D，所以2维不动点定理也可以表述为：设f: D→D是一个连续映射，则存在x∈D使得f(x)=x.
证法一：使用映射度来证明
所谓映射度(degree)就是把一个圆函数f: S¹→S¹绕自身卷多少圈的一种度量，记为deg(f). 若f为常值映射，即f(θ)=0，则deg(f)=0；若f为恒等映射，即f(θ)=θ，则deg(f)=1；若f为反射，即f(θ)=-θ，则deg(f)=-1；对于一般的函数cₙ(θ)=nθ来说，存在唯一的n∈Z，使得f与cₙ(θ)=nθ同伦（homotopic），因此deg(f)=n.
假设f: D→D无不动点，则可以定义连续映射 （这里||x||表示二维向量的长度）
令g为G在S¹上的限制映射（restriction map），即g=G|s¹. 一方面，可以定义伦移（homotopy）因为H(x,0)≡G(0)，H(x,1)=g(x)，g同伦于常值映射G(0)，所以g是零伦的（null homotopic），从而deg(g)=0.
另一方面，如果两个映射u, v: X→Sⁿ满足任取x∈X, u(x)≠-v(x)，则u v. 这是因为当我们可以在Eⁿ⁺¹中作u到v的直线伦移（linear homotopy）时，每条踪（trace）都不经过原点，因此可以用中心投影变成Sⁿ上的踪. 换言之，令 则hₜ定义了一个Sⁿ上的从u到v的伦移.
现在任取x∈S¹，都有g(x)≠-x. 如若不然，假设有x∈S¹使得g(x)= = -x，令a=||x-f(x)|| ，则f(x)=(1+a)x，因为a＞0，所以f(x)必处于单位圆盘D之外，这不符合f的定义，因此g(x)≠-x.
由g(x)≠-x和前面证得的结论可知，g同伦于S¹的恒等映射，即g ，从而deg(g)=1. 这就导出了矛盾，说明 f 必有不动点.
证法二：使用基本群来证明
先证明2维非收缩定理，再证明2维布劳威尔不动点定理.
设A是拓扑空间X的一个非空子集，如果连续映射r: X→A是恒等映射 : A→A的扩充，即对于任一a∈A都有r(a)=a，则称r是一个从X到A的收缩映射(retraction). 如果存在从X到A的一个收缩映射，则称A是X的一个收缩核(retract).
易知，每一个拓扑空间中，任何一个单点集都是这个空间的收缩核；每一个连通空间中，任何由两个不同的点构成的子集都不是这个空间的收缩核.
先证2维非收缩定理(No-retraction theorem)：从圆盘D到圆周边界S¹的收缩不存在，换言之，S¹不是D的一个收缩核.
反证法：假设S¹是D的一个收缩核，则存在收缩映射 r: D→S¹，于是可得拓扑空间与连续映射的交换图表（commutative diagram）：
其中 j 是单射(injective). 从而根据诱导同态的函子（functor）性质，可得群与同态的交换图表：
再证2维不动点定理：
假设连续映射f: D→ D没有不动点. 对于每一个x∈D，我们有f(x)∈D和f(x)≠x. 从f(x)到x做一条射线，与S¹交点记为r(x). 显然可见，当x∈S¹时，有r(x)=x；另一方面，从r(x)对x和f的连续依赖性可知，r(x)是一个连续函数. 因此，我们就得到了从D到S¹的一个收缩映射r: D→S¹，而这与2维非收缩定理矛盾.
关于r(x)的连续性的证明，除了诉诸于直观之外，我们还可以给出一个严格的表达式.
如图所示， ， ， ， . OP为单位圆半径，长度为1.
对于任何x∈D，有r(x)=x+v=x+ut.
其中u为v的单位向量，于是
t为v的模，即t=||v||=BP=PC-BC，BC=x⊙u（⊙表示内积运算） ，因此
从这个表达式可以明显看出r的连续性，也容易验证它确实是从D到S¹的一个收缩映射. 但根据非收缩定理，S¹不是D的一个收缩核，矛盾.
证法三：向量场
这是Mungres的教材《Topology》中的方法，大致分三步：
一，用基本群证明2维非收缩定理，前面已有介绍，此处不赘. 它导出一个推论：含入映射(inclusion map) j: S¹→R²-0是非零伦的，恒等映射(ideneity map) i: S¹→S¹是非零伦的. 下面会用到这个推论.
二，证明：圆盘上的一个非零向量场(Nonvanishing vector field)，必在圆周边界上的一点直接指向内部(points directly inward)，并在另外一点直接指向外部(points directly outward).
证明思路如下：
先假设圆周边界上不存在直接指向内部的点. 因为是非零向量场，所以v(x)≠0，即映射v: D→R²-0，令w是将v限制在S¹上的映射，即w=v|s¹，因为w可以扩充（extends）成v，所以w是零伦的.
另一方面，我们可以证明w同伦于含入映射 j: S¹→R²-0，我们可以定义直线伦移：
F(x, t)=tx+(1-t)w(x) for x∈S¹
在t=0或1时，很明显F(x, t)≠0；当0＜t＜1时，如果F(x, t)=0，则w(x)= ，即x的标量系数为负值，这意味着w(x)在点x直接指向内部，这与假设不符. 所以F(x, t)≠0，满足非零向量场的要求. 因此w同伦于j，从而j也是零伦的. 但根据前面的推论可知，j是非零伦的，有矛盾，因此非零向量场必在圆周边界上的一点直接指向内部. 同理也可证必有一点直接指向外部.
三，证明2维Brouwer不动点定理.
反证法：假设对于所有x∈D，都有f(x)≠x. 令v(x)=f(x)-x，则(x, v(x))是D上的一个非零向量场. 但是这个向量场在圆周S¹上的任何一点都不能直接指向外部，否则就有f(x)-x=ax (a＞0)，于是f(x)=(1+a)x将位于圆盘D外部，这就引出矛盾.
Brouwer不动点定理的证明历史
早在1909年Brouwer 就研究过二维球面 S² 到自身的连续映射f. 他先设f是连续的双射(从而是一个同胚)并且保持定向，他证明至少存在f的一个不动点x，使得f(x)=x. 这个证明占了9页篇幅，并用到了有关S²上曲线形变的复杂推理. 1910 年他给这个结果一个新的证明，是作为S²上连续向量场必有一个奇点这个定理的一个推论，这里用到另一个复杂的推理.
到了1911年，当Brouwer 给出映射度(degree)的定义后，他知道他可以用这个概念来证明，当连续映射 f: S→S²满足条件deg(f)≠(-1)ⁿ⁺¹时至少存在一个不动点. 这个定理等价于：若f无不动点，则 deg(f)=(-1)ⁿ⁺¹.
他的第一个证明很不简单，用到 Sⁿ上具有孤立奇点的连续向量场的指数和的计算.
在接下来的一篇文章中，Brouwer 得到一个不用向量场的简单证明：如果f无不动点，连接f和f(z)的大圆弧提供了将f变成对径映射a:x→-x的一个伦移，而 deg(a)=(-1)ⁿ⁺¹. 这就是现代教科书上普遍采用的证法，在前面的“映射度”证法中已有介绍.
上面那个定理当时并末引起数学家们很大的注意，可能他们尚不熟悉映射度这个新概念．相反，人们对Brouwer 的一个推论却极有兴趣．设g是方体 到其自身的一个连续映射，则g必至少有一个不动点. Brouwer 证明如下：将 换成Sⁿ的上半闭球面 ，因为两者同胚. 然后将g关于赤道对称地延拓成连续映射f: Sⁿ→ ⊆Sⁿ. 因为作为Sⁿ到自身的连续映射f不是满射，故deg(f)=0，由上面的定理知f至少有一个不动点. f的这个不动点必位于 内，从而这个点必是g的一个不动点.
这个推论现今在各种场合都以Brouwer不动点定理而为人们所知晓. 它之所以引起人们极大的兴趣，是因为它对映射，除连续性外无任何其他要求，而且可以广泛用于求方程的解的存在性.
不动点定理后来被推广到无穷维的情形，在应用上尤为重要. Birkhoff 和Kellogg于1922 年第一个推广到函数空间，证明在 中不动点定理成立. 随后，Schauder 在 1930年推广到任意赋范空间的紧凸集. Tychonorff于1935年进一步证明局部凸空间的任一紧凸集也具有不动点性质. 1941年，日本数学家Kakutani(角谷静夫)推广到多值映像(集值函数)，证明了欧氏实空间里的任一非空紧致凸集具有“角谷不动点性质”，该定理称为“Kakutani (角谷静夫)不动点定理”. 纳什(Nash)运用这一定理证明了N人博弈的纳什均衡存在性定理，阿罗(Arrow)和德布鲁(Debreu)运用这一定理证明了“N人—M种资源—K种产品”的一般均衡存在性定理，是博弈论和数理经济学的理论基础.
参考文献
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[5] 包志强. 点集拓扑与代数拓扑引论[M]. 北京：北京大学出版社，2013.
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转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2023-12-18 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗