参考书目
[1]陈恕行.现代偏微分方程导论(第二版).北京:科学出版社,2018.
广义函数就是基本函数空间上的连续线性泛函.称上的线性连续泛函为广义函数,称上的线性连续泛函为广义函数,称上的线性连续泛函为广义函数.这三类广义函数全体分别组成相应的广义函数空间,记为与.有关系式
常义函数(Lebesgue可积函数)都可对应于一个特定的广义函数,一般将此常义函数与它在中对应的广义函数视为同一.
例1 任意局部可积函数都是广义函数.
事实上,设为局部可积函数,若,则积分式
例2 函数为或广义函数.
定理1 若,则对任一紧集,存在常数与正整数,使
对任意的满足条件的的函数均成立.反之亦然.
定理2 若,则存在紧集与常数,使对任一函数,成立反之亦然.
定义1 使广义函数取零值的最大开集的余集,称为广义函数的支集,记为.
对于广义函数而言,一般我们不能说广义函数在一特定点的取值,但是它在任意开集中的值却是有确切意义的.
若有一广义函数,对任意函数,其中,成立
定理3 若有一广义函数,对于任一点,均有的邻域,使得在其中为零,则在内,有.
定理4 若在中有开集组覆盖紧集,则可以找到如下的函数组,其中,且在上.
例3 函数的支集为原点.
定理5 任一广义函数,其支集都是紧的.反之,任一广义函数,若其支集为紧的,必为广义函数.
定义2 若有属于某一基本函数空间的广义函数列,对于其基本函数空间上任意元素,成立
弱收敛
例4 设是按下列定义的函数列:利用积分中值定理有例5 设,则当时有.
事实上,对任一函数,利用Riemann-Lebesgue引理可知
定理6 若,则为中的函数.
证明 注意到对一固定的,都有,故有意义.又当时,可以使的支集都落在一个固定的紧集中(如取为以为心为半径的闭球),且在中的各阶导数都一致收敛于的各阶导数.故当时,有
记为方向的增量,构造差商
从一个广义函数出发,得到函数,称为广义函数的正则化.定理7 当时,有.定理8 当时,有.
定义3 设为广义函数,定义关于的偏导数为广义函数,满足
由的拓扑可知,从可得到,故上式确定了一个上的线性连续泛函,即也是广义函数,称为关于的广义导数.
对于重指标,有
我们得到广义函数以下两个性质:
(1)广义函数的任意阶导数存在.
(2)广义函数的导数与它的求导次序无关.
例6 考虑Heaviside函数
作为广义函数,它在上可导,对于任一有
例7 记为发散积分的Cauchy主值,即
故就是的导数.而为局部可积函数,有,故.
定理9 若广义函数在连通开集中导数为零,则在中恒为常数.
定理10 如果一个广义函数,它的支集为,则它必是函数及其导数的有限线性组合:
这里为某正整数, 为常系数,且这个表示唯一.
例8 设,求广义函数方程的解.
解 先考虑的解.由此式可知的支集在原点,由定理10可知
而对所有都有,故,其中为任意常数.再由可知方程的解为.将写成,由于
设为广义函数, ,定义与的乘积为
乘子
例9 不是的乘子.
事实上, 是的元素,但不再属于.
如果为广义函数, 为相应的乘子,则成立Leibniz公式
变量代换 若,则对于常义函数成立对于,定义其卷积为
定义4 设为两个广义函数,则的卷积定义为
不是任何两个广义函数都可以求卷积,但我们有
定理11 若为广义函数, 为广义函数,则为广义函数.又若为广义函数, 为广义函数,同样可得.
广义函数全体关于通常的线性运算以及卷积运算构成一个可交换的有单位元的代数.广义函数就是它的单位元.这个代数称为卷积代数.
定理12 设,且其中至少有两个具有紧支集,则(1) .(2) .(3) .(4) .
(5)对任意重指标,若,广义函数中至少有一个具有紧支集,则
根据这一性质,若有一个常系数的偏微分算子作用于两个广义函数的卷积上,则有
(6)若,则有意义,此时成立
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