定义在基本空间上的Fourier变换.对于任一函数,定义其Fourier变换为
约定记号
Fourier变换有以下性质:
(1) Fourier变换是线性变换.
(2) Fourier变换将微分运算变为乘以幂函数的运算,即
(3) Fourier变换将乘以幂函数的运算变为微分运算,即
(4) Fourier变换将卷积运算变为乘法运算,反之将乘法运算变为卷积运算.即
定理1 Fourier变换建立了到的一个同构对应.
证明 先证明对于任一,经过Fourier变换后仍然属于.事实上,对于任意的重指标,作积分式
就可以有
由于,故对任意有界,从而.由同一等式可知,当时,也有,所以Fourier变换是到的一个同构对应.同样可证Fourier逆变换也是到的一个同构对应(一对一,并保持线性结构与拓扑结构不变).
定理2 关于Fourier变换成立Parseval等式:
例1 函数的Fourier变换为.
定义1 对任一广义函数,定义它的Fourier变换为
定理3 Fourier变换建立了到的一个同构对应.
例2 求函数的Fourier变换.对任意的,成立
例3 求函数的Fourier变换.对于任一,记,则,且有
例4 求的Fourier变换.
注意到,对任一,仍记为,则
例5 求广义函数的Fourier变换.
注意到对于任意的,积分有意义,故.令
故,即.
定理4 若,则.
定理5 Paley-Wiener定理.
(1)若,支集在中,则的Fourier-Laplace变换满足条件(P1):存在使
又若解析函数满足条件(P1),则必为某个的Fourier-Laplace变换,且的支集在中.
(2)若,支集在中,则的Fourier-Laplace变换满足条件(P2):对任意的,存在,使
又若解析函数满足条件(P2),则必为某个的Fourier-Laplace变换,且的支集在中.
设在空间中给定一个具有系数的线性微分算子,表示为
则由Fourier变换的性质可知
定义2 设函数,且对任意重指标,成立
其中为常数,则称为类函数,记为.
定义3 若函数,则可以定义的线性连续映射为拟微分算子象征
当仅依赖于变量时,算子也称为Fourier乘子.
定理6 拟微分算子是的线性连续算子.它还可以唯一地延拓成为的线性连续算子,其中, 的线性连续算子,其中, 中的收敛按序列弱收敛的意义理解.
函数类是多项式的推广,相应地,拟微分算子类也要比微分算子类更为广泛,它的全体构成一个算子代数.一个重要的事实是拟微分算子的运算往往可以通过其象征的运算来实现.这克服了微分算子只能作加法和乘法(复合)的限制.将偏微分方程的求解视为偏微分算子求逆,而通过象征运算加以实现.
转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2024-01-14 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗