参考书目
[1]伍卓群等.椭圆与抛物型方程引论.北京:科学出版社,2003
向异性Sobolev空间与Holder空间
由于抛物方程中空间变量与时间变量的“地位”不同,故在研究抛物方程时所借助的函数空间与在研究椭圆型方程时所借助的函数空间有一定差异.
约定表示函数关于空间变量的梯度,记函数关于时间的弱导数为.
向异性Sobolev空间设是中的开集,记.
定义1 设为非负整数, .称集合赋以范数
后得到的赋范线性空间为Sobolev空间.这是一个Banach空间,其中元素的向弱导数的阶低于向弱导数的阶.
定义2 设为或, .称集合赋以范数
后得到的赋范线性空间为Sobolev空间.
当时,上述函数空间中都可以定义内积从而成为Hilbert空间.
当时,有.
定义3 记和.
(1)用表示在附近为而在上无穷次可微函数构成的集合.
(2)用表示在附近为而在上无穷次可微的函数构成的集合.
(3)用表示在中的闭包.用表示在中的闭包.用表示在中的闭包.用表示在中的闭包.
定义4 记赋以范数
后所得到的Banach空间.
定义5 记,其中内积定义为向异性Holder空间
抛物距离 沿用前面的记号,对任意两点,定义之间的抛物距离为
定义6 设是定义在上的函数,对于,引入Holder半范数
用表示上满足的函数全体,并定义范数为
对非负整数,定义函数空间
并定义半范数
和范数
这是一个Banach空间,且当时,有
其中和表示对所有关于空间变量的二阶导数所取的范数之和.
向异性嵌入定理
定理(嵌入) 设为一有界区域, ,则
定理(嵌入) 记,则设,有其中
定理(向异性Poincare不等式) 设, .(1)若,则(2)若,则
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