小乐数学科普：Tony Phillips教授的数学读报评论2024-04

本月主题：

1、伽利略对数学的看法错了？

2、宇宙形状的更新

3、拓扑学和精神分裂症

1623年，伽利略（Galileo Galilei，1564 - 1642）出版了《试金者》（Il Saggiatore），这是他与耶稣会天文学家奥拉齐奥·格拉西（Orazio Grassi，1583 - 1654）的论战，后者是地心/日心混合式太阳系模型的辩护者。在《试金者》一书中，他将宇宙比作一本巨大的书，如果不首先了解它的语言和字母，就无法理解它：“[那本书]是用数学语言写成的，字母是三角形、圆形和其他几何图形。屡获殊荣的英国科学作家菲利普·鲍尔（Philip Ball，1962 -）不同意这种观点。“坦率地说，伽利略错了：数学不是自然的语言，而是一种工具，我们可以用它来对自然的某些方面进行定量预测，”鲍尔在4月24日发表在《化学世界》上的一篇评论文章中写道 https://www.chemistryworld.com/opinion/making-sense-of-the-maths/4019357.article 。

鲍尔主要写生命科学的文章，实际上是在断章取义地把伽利略撇开。伽利略谈论的是天文学和物理学（“宇宙”），而没有谈到他那个时代的医学或生命科学，正如“自然”这个词所暗示的那样。另一方面，将伽利略排除在外，鲍尔有道理。正如他所说，“使用数学和理解科学之间存在着深刻的差异。也就是说，我们需要图片和故事（‘因果叙述’）才能使方程式有意义；鲍尔说，很多时候，“数学甚至可以隐藏在后面：如果你能摇动手柄并得到结果，你就可以（暂时）掩盖你不太掌握基础科学的事实。”

但为什么科学必须有意义呢？事实上，鲍尔在文章的开头引用了量子力学的发现者维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg，1901 - 1976）1930年的一句话，他写道：“我们的语言无法描述原子内部发生的过程，这并不奇怪，因为它是为了描述日常生活的经验而发明的，而这些经验只包括涉及大量原子的过程。更一般地说，为什么我们的大脑能够理解宇宙的基本结构，或者就此而言，人类大脑本身的基本结构？幸运的是，正如海森堡所说，我们有数学可供我们使用，它可以安全地引领我们超越我们可以舒适“理解”的东西。可能存在光速不同的平行宇宙，但不可能有满足47不是素数的平行宇宙。我们应该感谢我们有这个可靠的指南，而当它能见到的比我们所能见到的更好时不抱怨。

如果我们的三维宇宙不是无限的，那么它是什么样子的？据推测，它不会停止在一面墙上，它到处都是三维的；这就是我们所说的三维流形。但是，正如没有边界的二维有限曲面可以具有不同的拓扑结构（它可以是球体、环面、2-孔环面等）一样，在三维中也有许多可能的拓扑结构。

一些三维拓扑被排除在我们宇宙的可能性之外，因为它们与当前的观测结果不匹配。例如，根据目前的共识 https://wmap.gsfc.nasa.gov/universe/uni_shape.html ，宇宙在几何上是平坦的，因此在任何我们可以检查整体几何形状的区域，本质上都像三维欧几里得空间。这排除了有限拓扑的最简单模型，即三维球体，因为球体需要整体正曲率。2024年4月26日发表在《物理评论快报》上的“未来探索宇宙拓扑的前景”（Promise of Future Searches for Cosmic Topology） https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.132.171501 回顾了剩余的选项。一种可能性是三维环面，即通过识别立方体的相对边获得的空间。这张空间内部的样子的图像被用于物理杂志对PRL文章的评论中 https://physics.aps.org/articles/v17/74 。

由永远延伸的框架标记的立方体晶格

环顾3-环面内部（除了框架不可见）。立方体中的每个物体都会无限次出现，因为识别迫使视线在三个维度中的每一个维度上都绕了一圈。

图源：Jeff Weeks，来自用于多连接宇宙弯曲空间飞行模拟器 https://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html ，在GNU通用公共许可证下使用。

PRL文章的作者（国际“COMPACT合作”的15位成员）解释说，寻找宇宙拓扑信息的地方是在宇宙微波背景（CMB）的地图中。如果拓扑是这张地图异常特征的解释，那么它必然包含可检测的拓扑信息。像3-环面这样的拓扑结构最明显的迹象是星系等特征的重复图像，或者更一般地说，作者所描述的“具有匹配温度（和极化）的圆对......在天空的不同部分可见“，但没有这些迹象。

宇宙大约38万岁年龄（自大爆炸后）的宇宙背景辐射图。从地球向外看的二维方向球体被映射到椭圆上。

图源：NASA / WMAP科学团队 https://map.gsfc.nasa.gov/media/121238/index.html

为了证明“没有匹配的圆”并不排除宇宙的有趣拓扑结构，作者们研究了几个平面模型和条件，在这些模型和条件下，他们不会显示这样的圆。他们提醒我们，有17种不等价的平面可能性E₁,⋯,E₁₇ ，并专注于前三种：E₁，3-环面，其中等价的面可以是平行四边形或菱形；E₂，（其中一个菱形面在视为等价之前已经旋转了π）和 E₃（一个正方形面在视为等价之前已经旋转了π/2）。在这些例子中，他们计算出一系列参数（例如，面的相对大小），拓扑不会显示匹配的圆，因此这些参数仍然是有限宇宙模型的可行候选者。

三种平面模型。每个都显示为3维立体；当对面（黄色、蓝色和透明）等价时，则定义了一个3维流形。长度a，b，c是问题中的参数。对于平行六面体E₁，等价于一个3维环面，与上面的Jeff Weeks所示的模型相同。为了定义E₂，其中一个矩形面在视为等价之前顺时针旋转了180°。该图像显示了中间的矩形横截面。在E₃中，其中一个面是边长为a的正方形；它在视为等价之前旋转了90°。

图片由Tony Phillips提供

图论在精神疾病诊断中的应用在2024年4月26日的《精神分裂症公报》（Schizophrenia Bulletin）上报道。在Matheus Teles、Jose Omar Maximo、Adrienne Carol Lahti（均在阿拉巴马大学伯明翰分校）和Nina Vanessa Kraguljac（俄亥俄州立大学）撰写的文章，功能连接组中的拓扑扰动支持抗精神病药物初治精神病患者的缺陷/非缺陷区别 https://academic.oup.com/schizophreniabulletin/advance-article/doi/10.1093/schbul/sbae054/7658630 中，作者寻求生理学支持，以理解缺陷综合征（DS，也称为缺陷精神分裂症）实际上是一种独特的疾病，而不仅仅是精神分裂症的一种特别严重的表现。顾名思义，缺陷综合症 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2559917/ 的特点是持久的负面症状，例如，情感受限、言语贫乏、目标感减弱。

该团队与61名患者，18名DS和其他被诊断患有非缺陷精神分裂症（NDS）的患者合作，将他们与72名健康对照（HC）进行了比较。他们的假设是，唐氏综合征的特殊之处在于它涉及大脑运作连接的中断。为了测试它，他们定义了大脑中的246个感兴趣区域，并将这些区域视为图的节点。他们使用功能磁共振成像通过关联区域之间的活动来推断区域之间的连接强度，并根据这些强度为相应节点之间的边分配权重。这为每个主题生成了一个加权图。使用图论标准对图进行评估，包括：

• 整体（全局）效率 （Global efficiency）。对于未加权图，全局效率定义为任意两个不同节点之间最短路径长度的倒数的平均值（因此较长的路径贡献较小）。对于具有N个节点的连通图G，节点i和节点j之间的最短路径长度为dij，全局效率E(G)的公式为

• 全局最短路径长度 （Global shortest path length），这里是指任意两个节点之间最短路径的平均长度。

• 节点i的 局部效率 （Local efficiency）是由节点i、直接连接到i的所有节点以及它们之间的所有边组成的图Gi的全局效率E(Gi)。

• G的 全局局部效率 （Global local efficiency）是取遍G所有节点i的E(Gi)的平均值。

3个图的全局效率、全局最短路径长度和全局局部效率

第1行：该图由5个节点连接成一条线。全局效率为0.64、全局最短路径长度为2、全局局部效率为0.9。

第2行：节点以十字形连接，中心节点与周围的四个节点相连。与直线相比，该图具有更高的全局效率（0.7）和全局局部效率（1.6），以及更小的全局最短路径长度（0.94）。

第3行：十字形图，但现在外部节点也连接起来形成一个围绕十字的正方形。这增加了全局效率（0.9）并降低了全局最短路径长度（1.2），但全局局部效率（0.913）低于十字形。

三个小的未加权图的三个测量示例。

图片由Tony Phillips提供

研究结果表明，缺陷综合征组与其他组之间的全局效率、全局最短路径长度和全局局部效率存在统计学上的显著差异。（在他们的结论中，作者指出，拓扑指标显示对照组和NDS（无缺陷综合征精神分裂症）受试者之间没有统计学上的显著差异。总而言之，这证明缺陷综合症确实是一种独特的疾病。

https://www.chemistryworld.com/opinion/making-sense-of-the-maths/4019357.article

https://wmap.gsfc.nasa.gov/universe/uni_shape.html

https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.132.171501

https://physics.aps.org/articles/v17/74

https://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html

https://map.gsfc.nasa.gov/media/121238/index.html

https://academic.oup.com/schizophreniabulletin/advance-article/doi/10.1093/schbul/sbae054/7658630

https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2559917/

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转载自久章智能（微信公众号，久章智能于 2024-06-05 转载），内容保持原貌，版权归原作者及原账号所有。阅读原文 ↗