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撰文 | 金威
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庞加莱对自守函数的研究促使分析、几何、代数等领域进一步统一，奏响了19世纪末数学的华彩乐章（参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》）。这一理论作为核心“动机”，更是在20世纪数学的宏大交响中展开了波澜壮阔的“变奏”：从世纪初的单值化定理到费马大定理和朗兰兹纲领，再到多复变函数与低维拓扑学的研究，自守函数孕育的思想超越了古典形式，持续迸发活力。庞加莱的智慧光芒，始终在人类宏大的知识图景中闪耀。
经由前文《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》，我们重温了庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）在自守函数领域的创造性突破。庞加莱和克莱因（Felix Klein，1849-1925）的自守函数研究，在19世纪末一统分析、代数和几何等数学几大领域，展现了数学在多样性背后的统一性（参考文献见[1]-[15]）。而在此基础上，又涌现出诸多丰富多彩的问题和理论。
在此文中，笔者将不揣浅陋，初步地梳理和介绍其中的几个有代表性的方向。由此管中窥豹，我们可以欣赏到如下的图景。首先，在庞加莱的数学交响曲中，自守函数这一核心“动机”在20世纪初的单值化定理中完成初步的展开。此后，它并未止步于古典形式，而是通过现代数学的复调演绎——从数论中神秘的千古之谜（费马大定理）和大统一（朗兰兹）纲领，到多复变函数论和数学物理中的迷人应用，再到三维流形理论中拓扑与几何的对位共鸣——不断获得新的演进维度。
正如音乐动机在不同乐章中的变奏与再生，自守函数“动机”在20世纪数学的各个领域中持续演绎发展并多重奏鸣，呈现出理论数学优美而宏伟的时空结构。
自守函数理论“大统一”的尾声：单值化定理
2
2
2
2
1
1
2
2
单连通、连通的黎曼曲面必定共形等价于以下三种“标准”复空间之一：（1）扩充复平面；（2）复平面；（3）复平面上的开单位圆盘。
2
（1）扩充复平面；
（2）复平面ℂ，或复平面ℂ去掉零点（等价于ℂ/ℤ），或ℂ在一个格点群Λ离散作用下的商空间；
在更高维数下，还有与之类似的情况吗？
数论中的自守函数——费马大定理与朗兰兹纲领
𝑛
𝑛
𝑛
2
3
2
2
3
2
𝑛
𝑛
𝑛
2
n
n
𝑓
自守函数在多复变函数理论中的推广与应用略谈
自守函数“大一统”的三维版本与低维拓扑学的发展
在二维世界中，由于单值化定理和高斯-博内定理等，曲面为代数-球几何/欧氏几何/双曲几何—复几何—拓扑这几种观点提供了共同的舞台，它们在此处交相辉映，五光十色。拓扑学家尝试将这种二维的美妙情景推广到高维。同时，庞加莱本人也是三维流形拓扑学和代数拓扑学的早期开创者。由此，现在数学家要解决的问题是：
致谢：本文感谢刘辛味编辑的支持鼓励。在撰写过程中，作者得到了北京大学北京国际数学研究中心刘毅教授、清华大学丘成桐数学科学中心林剑锋副教授的大力帮助，特此致谢。
参考文献
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